HMF 4 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Stammfunktion
Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), so muss \(F'(x) = f(x)\) sein. Wir überprüfen das.
\(\quad F(x) \; = \; ( -4x - 14) e^{-0{,}5x} \; = \; u \cdot v \)
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Mit der Produkt- und Kettenregel gilt
\( \quad \begin{array}{ c l } F'(x) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[15pt] & \textit{Nebenrechnung 1 } \\[6pt] & u \; = \; -4x - 14 \\[6pt] & u' \; = \; -4 \\[6pt] & v \; = \; e^{-0{,}5x} \; = \; g\Big(h(x)\Big) \\[15pt] & \; \qquad \textit{Nebenrechnung 2 } \\[6pt] & \; \qquad h(x) \; = \; -0{,}5x \\[6pt] & \; \qquad h'(x) \; = \; -0{,}5 \\[6pt] & \; \qquad g(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'(x) \; = \; e^x \\[6pt] & \; \qquad g'\Big(h(x)\Big) \; = \; e^{-0{,}5x} \\[15pt] & v' \; = \; h'(x) \cdot g'\Big(h(x)\Big) \; = \; -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x} \\[15pt] F'(x) & = \; -4 \cdot e^{-0{,}5x} + ( -4x - 14) \cdot \left( -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\right) \\[8pt] F'(x) & = \; -4 \cdot e^{-0{,}5x} + ( 2x + 7) \cdot \left( e^{-0{,}5x}\right) \\[8pt] F'(x) & = \; (-4 + 2x + 7) \cdot \left( e^{-0{,}5x}\right) \\[6pt] F'(x) & = \; (2x + 3) \cdot \left( e^{-0{,}5x}\right) \\[6pt] F'(x) & = \; f(x) \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Zahl k
Wir bestimmen zunächst das Integral.
\( \quad \begin{array}{ r c l } \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx & = & \displaystyle{\int}_0^k (2x+3)e^{-0{,}5x}dx \\[8pt] & = & \Big[ (-4x - 14)e^{-0{,}5x} \Big]_0^k \\[8pt] & = & (-4k - 14)e^{-0{,}5k} - (-4 \cdot 0 - 14)e^{-0{,}5 \cdot 0} \\[8pt] & = & (-4k - 14) \cdot \dfrac{1}{e^{0{,}5k}} - (- 14) \cdot e^0 \\[8pt] & = & \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}} - (- 14) \cdot 1 \\[8pt] & = & \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}} + 14 \\ \end{array} \)
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\(f(x)\) ist für alle positiven \(x\)-Werte stets positiv, denn sowohl \(2x+3\) als auch \(e^{-0{,}5x}\) sind für alle positiven \(x\)-Werte stets positiv. Folglich bleibt der Graph rechts von der \(y\)-Achse immer oberhalb der \(x\)-Achse und die Fläche unter dem Graphen, und damit auch der Term
\( \quad \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx \)
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wird maximal, wenn \(k \to \infty\) geht.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}} + 14 \bigg) & = & \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}}\bigg) + \lim \limits_{k \to \infty}\big(14 \big) \\[12pt] & = & \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}}\bigg) + 14 \\ \end{array} \)
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Nach meinen Ausführungen über das Verhalten im Unendlichen bei zusammengesetzten Funktionen ist
\( \quad \lim \limits_{k \to \infty} \bigg( \dfrac{-4k - 14}{e^{0{,}5k}}\bigg) = 0 \)
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Damit ergibt
\( \quad \lim \limits_{k \to \infty} \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx = 14 \)
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Anschaulich bedeutet das nun, dass das Integral im Unendlichen den Wert \(14\) annimmt.
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Da \(k\) eine reelle Zahl ist und reelle Zahlen stets kleiner als \(\infty\) sind, gilt für alle \(k\), dass
\(\quad \displaystyle{\int}_0^k f(x) dx < 14 \)
\(\\\) ist.
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